| Περίληψη : | Αυτή η διατριβή εµβαϑύνει στη µελέτη των "Περιελίξεων της δισδιάστατης Κίνησης Brown ϰαι των εφαρµογών τους στα Οιϰονοµιϰά", διερευνώντας τον συναρπαστιϰό ϰόσµο της στοχαστιϰής ανάλυσης στις οιϰονοµιϰές επιστήµες. Ξεϰινώντας µε µία ιστοριϰή ανασϰόπηση εισάγουµε βασιϰούς συµβολισµούς ϰαι διεισδύουµε στις ϰύριες ιδιότητες της µονοδιάστατης Κίνησης Brown, συµπεριλαµβανοµένης της Ισχυρής Μαρϰοβιανής Ιδιότητας, της Αρχής της Ανάϰλασης ϰαι της ιδιότητας Martingale. Επιπλέον, διερευνούµε τη φόρµουλα του Itô ϰαι την ταυτότητα του Bougerol δηµιουργώντας µια ισχυρή ϑεωρητιϰή βάση για τις επόµενες αναλύσεις µας. Στη συνέχεια, εξετάζονται βασιϰές ιδιότητες της Κίνησης Brown σε δύο διαστάσεις, εισάγοντας την αναπαράσταση "στρεβλού/λοξού γινοµένου (skew product)”, τους χρόνους εξόδου ϰαι τους µετασχηµατισµούς Laplace των χρόνων αυτών, ενώ αναφέρονται ϰαι µελετώνται η µέϑοδος ”pinching” του Williams ϰαι το ϑεώρηµα του Spitzer. Στη σφαίρα των οιϰονοµιϰών µαϑηµατιϰών, διερευνούµε τις επιπτώσεις των περιελίξεων της επίπεδης Κίνησης Brown, µε έµφαση στα ασιατιϰά διϰαιώµατα προαίρεσης ϰαι τις εϰϑετιϰά συναρτησιαϰά της Κίνησης Brown, ανοίγοντας νέες δυνατότητες για οιϰονοµιϰή µοντελοποίηση ϰαι εϰτίµηση ϰινδύνου. Τέλος, επιβεβαιώνουµε τα ϑεωρητιϰά µας ευρήµατα µέσω προσοµοιώσεων, υπολογίζοντας την τιµή ασιατιϰών διϰαιωµάτων αγοράς για εµπορεύµατα ϰαι µετοχές, ενισχύοντας την πραϰτιϰή εφαρµογή της έρευνάς µας σε πραγµατιϰά σενάρια. Αυτή η ολοϰληρωµένη έρευνα συµβάλλει σηµαντιϰά στην ϰατανόηση της στοχαστιϰής ανάλυσης ϰαι των απτών οφελών της στη λήψη οιϰονοµιϰών αποφάσεων.
This thesis delves into the study of ”Windings of Planar Brownian Motion and its Applications in Finance,” exploring the fascinating world of stochastic analysis in economics. Beginning with an insightful historical review of Brownian motion, we establish essential notations and penetrate the main properties of one-dimensional Brownian motion, including the Strong Markov Property, the Reflection Principle and the Martingale property. Furthermore, we investigate Itô’s formula and Bougerol’s identity building a strong theoretical foundation for our subsequent analyses. The study then looks into the basic properties of planar Brownian Motion, introducing the skew product representation, exit times, and Laplace transformations of hitting times, while examining the significance of Williams’ ”pinching method” and Spitzer’s theorem. In the realm of financial mathematics, we explore the implications of Windings of planar Brownian Motion, with a focus on Asian options and exponential functionals of Brownian motion, opening up new possibilities for financial modeling and risk assessment. Finally, we validate our theoretical findings through simulations,where we calculate the price of Asian call options for commodities and stocks, reinforcing the practical applicability of our research in real-world scenarios. This comprehensive investigation contributes significantly to the understanding of stochastic analysis and its tangible benefits in financial decision-making.
|
|---|
Copyright © 2013 Βιβλιοθήκη Ο.Π.Α. Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.