Τίτλος A study of optimal bonus-malus systems in automobile insurance using different underlying approaches
Εναλλακτικός τίτλος Μελέτη των βέλτιστων συστημάτων εκπτώσεων-επιβαρύνσεων στην ασφάλιση οχημάτων χρησιμοποιώντας διαφορετικές βασικές προσεγγίσεις
Δημιουργός Τζουγάς, Γεώργιος Ι., Tzougas, George J.
Συντελεστής Frangos, Nikolaos
Athens University of Economics and Business, Department of Statistics
Τύπος Text
Φυσική περιγραφή 118p.
Γλώσσα en
Περίληψη The parallel growth of accidents and casualties to the increasing number of motor vehicles during the twentieth century and up to our days, has led the actuarial scientists around the world to develop Bonus-Malus Systems (BMS) that penalize insureds responsible for one or more accidents by premium surcharges or maluses and reward claim-free policyholders by awarding them discounts or bonuses. The Bonus-Malus Systems have played a fundamental role in the automobile insurance since it holds a significant part of the non-life business of many companies. Furthermore, due to the enormous and still growing competitiveness of the market, the Bonus-Malus Systems should be efficient, penalizing the bad drivers and simultaneously competitive. A basic interest of the actuarial literature is the construction of an optimal or ‘ideal’ BMS defined as a system obtained through Bayesian analysis. The main objective of the current thesis will be the study of optimal Bonus-Malus Systems using different underlying approaches. The majority of optimal BMS assign to each policyholder a premium based on his number of claims (claim frequency) disregarding his/hers aggregate claim amount (claim severity). In this way, a policyholder who underwent an accident with a small size of loss will be unfairly penalized in the same way with a policyholder who had an accident with a big size of loss. Motivated by this, in chapter 2 we will present an optimal BMS based on the a posteriori frequency and the a posteriori severity component under the assumption that the number of claims is distributed according to the Negative Binomial distribution and that the losses of the claims are distributed according to the Pareto distribution. Also, we will present a generalized optimal BMS that is based both on the a priori and a posteriori classification criteria by incorporating a priori information for each policyholder in the above design. In chapter 3, we will present a classical optimal BMS that takes into account the claim frequency and one that takes into account both the claim frequency and the claim severity. This time the claim frequency is distributed according to the Geometric distribution and the claim severity is distributed according to the Pareto distribution again. In chapter 4 we will present an optimal BMS that uses a three parameters distribution the Hofmann’s distribution for modeling claim frequency. Furthermore, a non-parametric method, that permits a simple formulation of the stationary and transition probabilities in a portfolio, is presented for the construction of an optimal BMS. In chapter 5, our analysis is based on the fact that for the construction of optimal BMS the distribution of the number of claims is frequently chosen within the “mixed-Poisson” family. We will show the general properties of “mixed Poisson” family distributions and we will give a unifying approach of several particular cases including the geometrical, the P-Erlang, the Negative Binomial and the Poisson inverse gaussian distributions. Also, in order to avoid the problem of adjustment that is the thickness of the tails of the underlying distributions we will present a new family of “mixed-Poisson”, built upon “fatty-tailed” underlying distributions, the “P-rational’’ distributions. In chapter 6, we will present an alternative approach to BMS the Stochastic Vortices Model developed under the assumption that we have an open portfolio, i.e., we consider that a policy can be transferred from one insurance company to another and that the new policies that constantly arrive into a portfolio can be placed not only in the “starting class” but into any of the bonus classes. The Stochastic Vortices Model applies to populations divided into sub-populations which correspond to the transient states of homogeneous Markov chains. Also, by using the limit state probabilities of the Model we can estimate the Long Run Distribution for a BMS and calculate optimal bonus-malus scales. Furthermore, since the Stochastic Vortices Model allows the subscription and the annulment of policies in the portfolio it is an alternative approach to the usual BMS model and the fact that the population is taken as open renders it quite representative of the reality. Finally, in chapter 7 for the first time in actuarial literature, we will propose a combination of a Poisson- Inverse Gaussian distribution for modeling claim frequency and of a Pareto distribution for modeling claim severity for the construction of an optimal BMS.
Η παράλληλη αύξηση των ατυχημάτων και των απωλειών ζωής με τον αυξανόμενο αριθμό μηχανοκίνητων οχημάτων κατά τη διάρκεια του εικοστού αιώνα μέχρι και τις μέρες μας, έχει οδηγήσει τους επιστήμονες του αναλογισμού ανά τον κόσμο να αναπτύξουν συστήματα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων (Bonus-Malus Systems) τα οποία επιβάλουν ποινές στους ασφαλιζομένους που είναι υπαίτιοι για ένα ή περισσότερα ατυχήματα μέσω της επιβολής επιβαρύνσεων στα ασφάλιστρά τους (ή malus) και επιβραβεύουν τους ασφαλιζομένους χωρίς ατυχήματα απονέμοντας τους εκπτώσεις (ή bonus). Τα συστήματα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων έχουν παίξει έναν θεμελιώδες ρόλο στην ασφάλιση των οχημάτων καθώς κατέχουν ένα σημαντικό τμήμα στον κλάδο γενικών ασφαλίσεων (non-life business) πολλών εταιρειών. Επιπλέον, λόγω της ήδη τεράστιας αλλά και επιπλέον αυξανόμενης ανταγωνιστικότητας της αγοράς, τα συστήματα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων πρέπει να είναι συνεπή επιβάλλοντας ποινές στους κακούς οδηγούς και ταυτόχρονα ανταγωνίστηκα. Βασικό ενδιαφέρον της αναλογιστικής επιστήμης αποτελεί η κατασκευή ενός βέλτιστου ή ‘ιδανικού’ συστήματος εκπτώσεων- επιβαρύνσεων το οποίο ορίζεται ως ένα σύστημα το οποίο αποκτήθηκε μέσω της Μπευζιανής ανάλυσης. Ο βασικός στόχος της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη των βέλτιστων συστημάτων εκπτώσεων- επιβαρύνσεων χρησιμοποιώντας διαφορετικές βασικές προσεγγίσεις. Η πλειονότητα των βέλτιστων συστημάτων εκπτώσεων- επιβαρύνσεων βασίζεται στον αριθμό των ατυχημάτων (συχνότητα των ατυχημάτων) του ασφαλιζόμενου για να την ανάθεση του ασφάλιστρου και αγνοεί το συνολικό τους κόστος (σφοδρότητα των ατυχημάτων). Συνεπώς αδίκως η επιβαλλόμενη ποινή σε ένα ασφαλιζόμενο ο οποίος υπέστη ατύχημα μικρού κόστους θα είναι όμοια με ένα ασφαλιζόμενο ο οποίος υπέστη ατύχημα μεγάλου κόστους. Παρακινούμενοι από αυτό το γεγονός στο κεφάλαιο 2, υπό την παραδοχή ότι ο αριθμός των ατυχημάτων κατανέμεται με βάση την Αρνητική Διωνυμική κατανομή και ότι το κόστος των ατυχημάτων κατανέμεται με βάση την κατανομή Pareto, θα παρουσιάσουμε ένα βέλτιστο σύστημα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων το οποίο βασίζεται στην a posteriori συνιστώσα της συχνότητας αλλά και στην a posteriori συνιστώσα της σφοδρότητας των ατυχημάτων. Επιπλέον, θα παρουσιάσουμε ένα γενικευμένο βέλτιστο σύστημα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων το οποίο βασίζεται και στα a priori και στα a posteriori κριτήρια κατηγοριοποίησης των ασφαλιζομένων καθώς ενσωματώνει στο αρχικό σύστημα και τις a priori πληροφορίες για κάθε ασφαλιζόμενο. Στο κεφάλαιο 3 θα παρουσιάσουμε ένα κλασικό βέλτιστο σύστημα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων, το οποίο λαμβάνει υπόψη την συχνότητα των ατυχημάτων, και ένα άλλο το οποίο λαμβάνει υπόψη και την συχνότητα των ατυχημάτων και την σφοδρότητα των ατυχημάτων. Αυτή τη φορά η συχνότητα των ατυχημάτων θα κατανέμεται με βάση την Γεωμετρική κατανομή και η σφοδρότητα των ατυχημάτων θα κατανέμεται, πάλι, με βάση την κατανομή Pareto. Στο κεφάλαιο 4 θα παρουσιάσουμε ένα βέλτιστο σύστημα εκπτώσεων- επιβαρύνσεων στο οποίο χρησιμοποιείται μια κατανομή τριών παραμέτρων, η κατανομή Hofmann, για να μοντελοποιηθεί η συχνότητα των ατυχημάτων. Επιπλέον θα παρουσιάσουμε μια απαραμετρική μέθοδο η οποία ‘επιτρέπει’ μια απλή τροποποίηση των στάσιμων (stationary) πιθανοτήτων και των μεταβατικών (transition) πιθανοτήτων ενός χαρτοφυλακίου για την κατασκευή ενός βέλτιστου συστήματος εκπτώσεων- επιβαρύνσεων. Στο κεφάλαιο 5 η ανάλυσή μας θα βασιστεί στο γεγονός ότι για την κατασκευή ενός βέλτιστου συστήματος εκπτώσεων- επιβαρύνσεων η κατανομή του αριθμού των ατυχημάτων επιλέγεται συχνότερα μέσα από την οικογένεια μεικτών κατανομών Poisson (“mixed Poisson” family). Θα δείξουμε τις γενικές ιδιότητες των κατανομών από την οικογένεια μεικτών κατανομών Poisson και θα δώσουμε μια ενοποιημένη προσέγγιση αρκετών συγκεκριμένων κατανομών όπως της Γεωμετρικής, της P-Erlang, της Αρνητική Διωνυμικής και της Poisson inverse Gaussian. Επίσης αποσκοπώντας στην αποφυγή του προβλήματος της προσαρμογής το οποίο αφορά το πάχος των ουρών των ανωτέρω βασικών κατανομών θα παρουσιάσουμε μια καινούργια οικογένεια μεικτών κατανομών Poisson η οποία έχει δημιουργηθεί βάση κατανομών με ‘παχιές’ ουρές τις “P-rational’’ κατανομές. Στο κεφάλαιο 6 θα παρουσιάσουμε μια διαφορετική προσέγγιση των συστημάτων εκπτώσεων- επιβαρύνσεων το Stochastic Vortices Model το οποίο έχει δημιουργηθεί υποθέτοντας ότι έχουμε ανοιχτό χαρτοφυλάκιο, δηλαδή θεωρούμε ότι ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο επιτρέπεται να μεταφερθεί από την μια ασφαλιστική εταιρεία στην άλλη και ότι τα νέα ασφαλιστήρια συμβόλαια που συνεχώς καταφθάνουν σε ένα χαρτοφυλάκιο δεν τοποθετούνται μόνο στην αρχική κατηγορία αλλά σε οποιαδήποτε κατηγορία bonus . Το Stochastic Vortices Model εφαρμόζεται σε πληθυσμούς που χωρίζονται σε υποπληθυσμούς οι οποίοι αντιστοιχούν στις μεταβατικές καταστάσεις των ομογενών Μαρκοβιανών αλυσίδων. Επίσης χρησιμοποιώντας τις οριακές πιθανότητες καταστάσεων (limit state probabilities) του μοντέλου μπορούμε να εκτιμήσουμε την Long Run Distribution ενός μπόνους-μάλους συστήματος και να υπολογίσουμε βέλτιστες bonus-malus κλίμακες. Επιπλέον το Stochastic Vortices Model αποτελεί μια διαφορετική προσέγγιση των συστημάτων εκπτώσεων- επιβαρύνσεων επειδή επιτρέπει την συνδρομή αλλά και την κατάργηση των ασφαλιστηρίων συμβολαίων στο χαρτοφυλάκιο. Εν κατακλείδι στο κεφάλαιο 7 για πρώτη φορά στην βιβλιογραφία της ασφαλιστικής επιστήμης θα προτείνουμε τον συνδυασμό της Poisson-Inverse Gaussian κατανομής, για την μοντελοποίηση της συχνότητας των ατυχημάτων, με την κατανομή Pareto για την μοντελοποίηση της σφοδρότητας των ατυχημάτων με σκοπό την κατασκευή ενός βέλτιστου συστήματος εκπτώσεων- επιβαρύνσεων.
Λέξη κλειδί Poisson- Inverse Gaussian distribution
Stochastic Vortices Model
Optimal BMS
Automobile insurance
Bonus-Malus Systems (BMS)
Ημερομηνία 30-06-2008
Άδεια χρήσης https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/